Calculadora del teorema del límite central
Usa nuestra calculadora del teorema del límite central para calcular la distribución muestral de la media: la media muestral esperada y el error estándar (dispersión) a partir de la media poblacional (μ), la desviación estándar poblacional (σ) y el tamaño de la muestra (n). Incluye una explicación clara del teorema del límite central, cuándo usarlo y cómo usarlo para calcular la probabilidad entre dos números.
¿Qué es el teorema del límite central?
El teorema del límite central (TLC) es una de las ideas más importantes en estadística. Dice que, cuando tomas suficientes muestras aleatorias de tamaño n de una población, la distribución de la media muestral se vuelve aproximadamente normal (en forma de campana), incluso si la población original no es normal.
Esto importa porque te permite usar herramientas de probabilidad normal (puntuaciones z y la CDF normal) para estimar probabilidades sobre medias muestrales. Por eso verás “calculadora del teorema del límite central probabilidad” y “probabilidad entre dos números”: normalmente se refieren a probabilidades sobre la media muestral, no sobre valores individuales.
En problemas de TLC, los resultados clave son (1) la media de la distribución muestral (la media muestral esperada) y (2) la desviación estándar de esa distribución muestral, generalmente llamada error estándar.
Fórmulas del teorema del límite central
Para la distribución muestral de la media (x̄), el TLC usa la media poblacional μ y la desviación estándar poblacional σ para describir la media y la dispersión de x̄.
La distribución muestral de la media se centra en la media poblacional.
Esta es la desviación estándar de x̄ (a menudo llamada error estándar).
Φ es la CDF normal estándar. Este es el planteamiento típico de “probabilidad entre dos números” con el TLC.
Tamaños de muestra más grandes hacen que la distribución muestral sea más estrecha alrededor de μ.
Así funcionan por dentro la TI-84 y la mayoría de flujos de probabilidad del TLC.
Definiciones
Estos son los términos más comunes que verás en problemas del teorema del límite central.
- Teorema del límite central (TLC)
- Teorema que afirma que la distribución de la media muestral se vuelve aproximadamente normal a medida que crece el tamaño de la muestra n, bajo condiciones comunes de muestreo.
- Media muestral (x̄)
- El promedio de una muestra. El TLC se centra en la distribución de x̄ a través de muchas muestras.
- Distribución muestral
- La distribución de probabilidad de un estadístico (como x̄) a lo largo de muestras aleatorias repetidas de tamaño n.
- Error estándar (σx̄)
- La desviación estándar de la distribución muestral de x̄. En el TLC es σ/√n.
- Φ (CDF normal)
- La función de distribución acumulada de la normal estándar, usada para calcular probabilidades a partir de puntuaciones z.
Cómo usar la calculadora del teorema del límite central
- 1
Introduce la media poblacional (μ).
- 2
Introduce la desviación estándar poblacional (σ).
- 3
Introduce el tamaño de la muestra (n).
- 4
Lee la media muestral esperada (μx̄) y el error estándar (σx̄ = σ/√n).
Preguntas frecuentes
El teorema del límite central dice que la media muestral x̄ tiende a seguir una distribución aproximadamente normal a medida que el tamaño de la muestra n aumenta, incluso si la distribución poblacional no es normal (bajo condiciones típicas de muestreo aleatorio).
Usa el TLC cuando trabajas con la media muestral (o sumas/promedios) y quieres aproximar probabilidades con un modelo normal, especialmente cuando no se sabe que la población sea normal y el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande.
n ≥ 30 es una regla general, no una ley universal. Si la población es casi normal, puede funcionar un n menor. Si la población es muy sesgada o con colas pesadas, quizá necesites un n mayor para que la aproximación normal sea precisa.
Calcula el error estándar σ/√n, convierte ambos límites (a y b) en puntuaciones z usando z = (x̄ - μ) / (σ/√n) y luego resta valores de la CDF: Φ(zb) - Φ(za).
Una TI-84 normalmente convierte los límites a puntuaciones z usando el error estándar (σ/√n) y luego usa una función de CDF normal para devolver la probabilidad.
No. El TLC describe la distribución de la media muestral (x̄), no la población original. La población puede estar sesgada y aun así producir una distribución muestral aproximadamente normal para x̄ cuando n es lo suficientemente grande.
La mayoría de gráficos del TLC muestran la distribución muestral de la media — centrada en μ con dispersión σ/√n — y pueden sombrear el área entre dos límites para representar una probabilidad.